从正负号到相变：伊辛模型的一百年

磁铁被加热后，为什么会在居里温度附近失去自发磁化？在标准大气压下，水为什么会在约 100°C 发生液气相变？这些现象的微观机制与相变类型并不相同，却共享一个关键词：相变。系统的组成没有改变，宏观状态却会在相界或临界点附近发生质的变化。

伊辛模型的迷人之处，正是它用极少的规则抓住了这种变化。每个格点上只有一个正号或负号，格点之间只有简单的相互作用；然而，当格点数量足够多时，秩序、无序、临界涨落乃至不同尺度之间的自相似都会从中出现。

对我而言，伊辛模型并不只是一个著名的名字。我目前的研究方向是概率论与数学统计力学：硕士阶段研究长程伊辛模型，即将开始的博士课题则围绕相界面模型展开。可以说，这篇文章既是一篇科普，也是一张我自己研究世界的地图——每一站，精确解、普适性、界面、长程作用，都对应着我正在学习、或试图向前推动一小步的问题。

它并不是一块真实磁铁的缩小版，而是一副关于集体现象的最小骨架。

1. 从居里温度到伊辛的格点

1895 年，Pierre Curie（皮埃尔·居里）系统研究了磁性随温度的变化。铁磁材料升温到某个临界温度后，自发磁化消失；这个温度后来被称为居里温度。问题随之而来：大量微观磁矩之间究竟遵循什么规则，才会共同产生如此清晰的宏观转变？

Pierre Curie（皮埃尔·居里）的黑白肖像 — **Pierre Curie（皮埃尔·居里）** · 1859–1906 图片来源：Nobel Foundation / Wikimedia Commons（公有领域）

1920 年，Wilhelm Lenz（威廉·楞次）提出了一个大胆的简化。把材料想成一张规则格点，每个位置只保留两种状态：

\[ \sigma_i \in \{-1,+1\}. \]

二维方格上由红色向上箭头和蓝色向下箭头组成的 Ising 自旋构型 — **二维方格上的 Ising 自旋构型** · 红色向上箭头表示 (+1)，蓝色向下箭头表示 (-1)，灰线连接最近邻格点绘图：Yuguang XIAO（肖煜光）

这个二元变量不必被理解成电子自旋的完整量子描述；它只记录局部磁矩沿某一轴的两个可能方向。对于最经典的近邻铁磁模型，哈密顿量写成

\[ H(\sigma) =-J\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i\sigma_j -h\sum_i\sigma_i, \qquad J>0. \]

第一项鼓励相邻自旋同向排列，第二项描述外磁场。温度则通过 Gibbs–Boltzmann 权重进入模型：低温更偏爱低能量构型，高温允许更多无序构型出现。

写下能量

相邻自旋一致时能量降低；能量推动系统形成大块同向区域。

让温度参与选择

构型 \(\sigma\) 出现的概率为

\[ \mathbb P_T(\sigma)=\frac{1}{Z(T)} \exp\!\left(-\frac{H(\sigma)}{k_B T}\right). \]

对所有构型求和

归一化常数 \(Z(T)\) 是配分函数：

\[ Z(T)=\sum_{\sigma} \exp\!\left(-\frac{H(\sigma)}{k_B T}\right). \]

困难也立刻显现出来：\(N\) 个格点共有 \(2^N\) 种构型。即使只有 256 个格点，状态数也约为 \(1.16\times10^{77}\)。我们无法逐一枚举，却仍希望从这片组合爆炸中读出磁化强度、比热和关联长度等宏观量。

2. 一维的失败，二维的答案

Wilhelm Lenz（威廉·楞次）把这个问题交给了学生 Ernst Ising（恩斯特·伊辛）。Ernst Ising（恩斯特·伊辛）在 1924 年的博士论文中求解了一维近邻模型，并于 1925 年发表结果：在任何正温度下，一维短程链都没有自发磁化。

Wilhelm Lenz（威廉·楞次）与 Ernst Ising（恩斯特·伊辛）的黑白肖像并排图 — 左：**Wilhelm Lenz（威廉·楞次）**；右：**Ernst Ising（恩斯特·伊辛）** 图片来源：知乎问题中返朴转载的西湖大学科普文章

原因可以用“畴壁”来理解。把一段向上的自旋翻成向下，只需在两端制造有限的能量代价；但链越长，畴壁可以出现的位置越多。只要温度大于零，熵的优势最终会让畴壁大量出现，把长程秩序切碎。

二维则完全不同。1944 年，Lars Onsager（拉斯·昂萨格）严格计算了零外场下方格子伊辛模型的自由能，证明它确实存在非零临界温度。对于各向同性耦合，临界点满足

\[ \sinh\!\left(\frac{2J}{k_B T_c}\right)=1, \qquad \frac{k_B T_c}{J} =\frac{2}{\ln(1+\sqrt 2)} \approx 2.269. \]

低于 \(T_c\) 时，大尺度磁化可以稳定存在；高于 \(T_c\) 时，热涨落摧毁这种秩序。1952 年，Chen-Ning Yang（杨振宁）进一步给出了二维方格子模型自发磁化的严格公式：

\[ m(T)= \left[1-\sinh^{-4}\!\left(\frac{2J}{k_B T}\right)\right]^{1/8}, \qquad T<T_c. \]

指数 \(1/8\) 不是装饰性的数字。它描述磁化在接近临界点时如何消失，也是二维伊辛普适类最著名的临界指数之一。

3. Kramers–Wannier（克喇末–瓦尼尔）对偶性

在 Lars Onsager（拉斯·昂萨格）给出二维严格解之前，Hendrik Kramers（亨德里克·克喇末）与 Gregory Wannier（格里高利·瓦尼尔）于 1941 年发现，方格子模型的高温展开与对偶格子上的低温展开可以相互对应。若进一步假设相变点唯一，这一对应便能确定临界温度。

这就是高低温对偶性（high-low temperature duality）。考虑零外磁场下的配分函数 \(Z(\beta)\)，其中 \(\beta = 1/(k_B T)\)：

\[ Z(\beta)=\sum_{\sigma} \exp\!\left(\beta J\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i\sigma_j\right). \]

在低温区（\(\beta\) 较大），系统主要围绕完全对齐的基态涨落。翻转一片自旋会产生一个“岛屿”，其边界形成畴壁（contour）；对这些畴壁求和，便得到关于低温参数 \(e^{-2\beta J}\) 的展开。

在高温区（\(\beta\) 较小），利用恒等式 \(e^{\beta J\sigma_i\sigma_j}=\cosh(\beta J)\bigl(1+\sigma_i\sigma_j\tanh(\beta J)\bigr)\) 展开玻尔兹曼因子。对自旋求和后，只有每个格点都具有偶数条入边的项保留下来，也就是由闭合环路组成的构型。因此，高温配分函数可以写成关于 \(\tanh(\beta J)\) 的环路展开。

二维方格子的对偶格子仍是方格子本身。把高温展开中的闭合环路视为对偶格子上的低温畴壁，就得到温度参数之间的对应关系：

\[ e^{-2\beta J}=\tanh(\beta^*J). \]

这里省略了依赖格点规模与边界条件的乘法因子；在周期边界条件下，还需同时处理不同的拓扑扇区。若假设系统只有一个相变点，那么它必须是对偶变换的固定点，即 \(\beta_c=\beta_c^*\)。于是

\[ \sinh\!\left(\frac{2J}{k_B T_c}\right)=1, \]

这与 Lars Onsager（拉斯·昂萨格）之后得到的精确解一致。高低温对偶把两个看似相反的区域联系起来，也成为现代统计物理与量子场论中诸多对偶思想的早期范例。

4. 从精确解到普适性

Lars Onsager（拉斯·昂萨格）与 Chen-Ning Yang（杨振宁）的公式精确回答了二维模型的关键问题，却也把一个更普遍的疑问推到台前：为什么微观细节相差很大的系统，会在临界点附近表现出相同的幂律？

远离临界温度时，自旋之间的关联通常只延伸有限距离。接近 \(T_c\) 时，关联长度迅速增长：小团簇嵌在大团簇中，大团簇又嵌在更大的结构里。系统不再偏爱某一个特征尺度，放大之后仍能看到相似的统计纹理。

这就是普适性。临界行为往往不取决于晶格间距或原子的化学细节，而主要由空间维度、对称性和相互作用范围决定。二维伊辛模型的磁化指数 \(\beta=1/8\)、关联长度指数 \(\nu=1\) 和磁化率指数 \(\gamma=7/4\)，共同刻画了一个完整的普适类。

20 世纪 70 年代，Kenneth G. Wilson（肯尼斯·威尔逊）将重整化群发展为理解普适性的系统框架。逐步放大观察尺度，相当于依次消去短尺度自由度；不同微观模型的参数可能流向同一个固定点，而少数“相关”方向决定临界指数。普适性由此不再只是经验巧合，而成为尺度变换下共同结构的结果。

Lars Onsager（拉斯·昂萨格）的黑白肖像 — 左：**Lars Onsager（拉斯·昂萨格）**，二维方格伊辛模型精确解的提出者、1968 年诺贝尔化学奖得主；右：**Kenneth G. Wilson（肯尼斯·威尔逊）**，临界现象重整化群框架的奠基者、1982 年诺贝尔物理学奖得主图片来源：左图，Nobel Foundation / Wikimedia Commons（公有领域）；右图，Nobel Foundation / Wikimedia Commons（CC BY-SA 4.0）

Kenneth G. Wilson（肯尼斯·威尔逊）的黑白肖像 — 左：**Lars Onsager（拉斯·昂萨格）**，二维方格伊辛模型精确解的提出者、1968 年诺贝尔化学奖得主；右：**Kenneth G. Wilson（肯尼斯·威尔逊）**，临界现象重整化群框架的奠基者、1982 年诺贝尔物理学奖得主图片来源：左图，Nobel Foundation / Wikimedia Commons（公有领域）；右图，Nobel Foundation / Wikimedia Commons（CC BY-SA 4.0）

5. 共形结构与严格概率

尺度不变性在二维还有更强的版本。1970 年，Alexander Polyakov（亚历山大·波利亚科夫）提出用共形对称理解临界涨落；共形变换可以在局部改变长度，却保持角度，为“临界点没有特征尺度”提供了更精细的数学语言。

此后，Stanislav Smirnov（斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫）、Dmitry Chelkak（德米特里·切尔卡克）等人的工作严格建立了平面临界伊辛模型若干观测量与界面的共形不变缩放极限。另一条严格路线则通过随机流、关联不等式与随机几何研究高维相变。Hugo Duminil-Copin（雨果·迪米尼-科潘）因解决统计物理相变概率理论中的长期难题，尤其是三维和四维问题，获得了 2022 年菲尔兹奖。

Stanislav Smirnov（斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫）的户外肖像 — 左：**Stanislav Smirnov（斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫）**，2010 年菲尔兹奖得主；右：**Hugo Duminil-Copin（雨果·迪米尼-科潘）**，2022 年菲尔兹奖得主。二人代表了临界模型严格概率理论的两条重要进路图片来源：Wikipedia / Wikimedia Commons。左图，Renate Schmid（雷娜特·施密德）/ Oberwolfach Photo Collection，见 Stanislav Smirnov 图像页（CC BY-SA 2.0 DE）；右图，见 Hugo Duminil-Copin 条目

Hugo Duminil-Copin（雨果·迪米尼-科潘）站在写满数学公式的白板前 — 左：**Stanislav Smirnov（斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫）**，2010 年菲尔兹奖得主；右：**Hugo Duminil-Copin（雨果·迪米尼-科潘）**，2022 年菲尔兹奖得主。二人代表了临界模型严格概率理论的两条重要进路图片来源：Wikipedia / Wikimedia Commons。左图，Renate Schmid（雷娜特·施密德）/ Oberwolfach Photo Collection，见 Stanislav Smirnov 图像页（CC BY-SA 2.0 DE）；右图，见 Hugo Duminil-Copin 条目

6. 三维：严格结果与现代共形自举

“三维伊辛模型是否已经解出”很容易变成一个语言陷阱。截至 2026 年，我们仍不知道一个与 Lars Onsager（拉斯·昂萨格）二维解相当的、能完整写出三维近邻模型自由能与关联函数的闭式公式。但严格统计力学关心的不只是“能否写出公式”，还包括相变是否存在、Gibbs 态何时唯一，以及秩序参量在临界点如何行为。

相变的存在性

Rudolf Peierls（鲁道夫·佩尔斯）的轮廓论证（Peierls Argument）表明，在二维及更高维的近邻铁磁模型中，足够低温时可以存在多个 Gibbs 态。高温区的簇展开与唯一性论证则给出相反图景，从而在严格意义上建立了相变的存在。

临界点的连续性

Michael Aizenman（迈克尔·艾森曼）、Hugo Duminil-Copin（雨果·迪米尼-科潘）与 Vladas Sidoravicius（弗拉达斯·西多拉维丘斯）利用无穷体积下的随机流表示，证明了三维近邻伊辛模型的自发磁化在临界点连续消失。换言之，该相变是连续的：

\[ \lim_{\beta\downarrow\beta_c}m^*(\beta)=0. \]

仍然开放的解析问题

三维模型仍缺少完整的闭式自由能、任意距离关联函数和一套可与二维情形相比的临界结构严格推导。三维缩放极限的共形不变性如何从格点模型中严格产生，仍是核心难题之一。

随机流表示把自旋关联函数重写为具有偶奇约束的整数流之和，从而把解析问题与随机几何中的连通性联系起来。这也是伊辛模型长盛不衰的一个原因：同一个模型不断促成代数、组合、概率与分析之间的新对话。

连续极限中的共形自举

严格概率方法从格点模型出发；现代共形自举（conformal bootstrap）则采取另一条路线。它假设三维伊辛临界点的连续极限由一个幺正共形场论描述，不再逐个枚举格点构型，也不需要进行蒙特卡洛抽样，而是直接研究局部算符及其关联函数必须满足的自洽条件。

同一个四点关联函数可以先融合前两个算符，也可以改用另一种融合次序。算符乘积展开（OPE）的结合律要求两种展开完全一致，这就是交叉对称性（crossing symmetry）。以自旋算符 \(\sigma\) 的四点函数为例，约束可以示意性地写成

\[ \sum_{\mathcal O} \lambda_{\sigma\sigma\mathcal O}^{2} F_{\Delta,\ell}(u,v)=0. \]

这里 \(u,v\) 是共形交比，\(\Delta\) 与 \(\ell\) 分别是中间算符的标度维数和自旋，\(\lambda_{\sigma\sigma\mathcal O}\) 是 OPE 系数。幺正性进一步给出 \(\lambda^2\geq0\) 以及算符维数的下界。于是，一个看似无限维的场论问题可以转化为凸优化与半正定规划：若某组临界数据无法满足这些约束，它就会被排除。

2008 年，Riccardo Rattazzi（里卡尔多·拉塔齐）、Slava Rychkov（斯拉瓦·雷奇科夫）等人使高维数值共形自举成为可计算的方法；2012 年，Sheer El-Showk（希尔·埃尔-肖克）等人在允许区域的边界上识别出三维伊辛模型的特征尖点；2015 年，David Simmons-Duffin（戴维·西蒙斯-达芬）开发的半正定规划求解器 SDPB 显著提高了计算能力；2016 年，Filip Kos（菲利普·科斯）等人联立 \(\sigma\) 与能量算符 \(\varepsilon\) 的多个关联函数，把允许区域压缩成著名的“伊辛孤岛”（Ising island）。

这一多关联函数分析给出的代表性高精度结果为

\[ \Delta_\sigma\approx0.5181489, \qquad \Delta_\varepsilon\approx1.412625. \]

它们是标度维数，而不是异常维度本身。在三维中，可由此换算出常用临界指数

\[ \begin{aligned} \eta&=2\Delta_\sigma-(d-2)\approx0.03630,\\ \nu&=\frac{1}{d-\Delta_\varepsilon}\approx0.62997, \qquad d=3. \end{aligned} \]

共形自举没有给出类似二维自由能公式的闭式解析解，却展示了另一种“求解”方式：仅依靠连续极限中的对称性、结合律与幺正性，就能对三维临界数据施加极强的、可系统改进的数值约束。

7. 从自旋到高度：界面模型的涌现

从这里开始，文章进入与我的研究最直接相关的部分。前面几章关心的是“秩序是否存在、何时消失”；而接下来的两章关心的是秩序之间的边界——它在哪里，长什么样，如何涨落。

在零外场且 \(0<T<T_c\) 的相共存区，正相与负相可以同时出现。要研究两相之间边界的几何性质，就需要把目光从自旋本身移向相界面（phase interface）。

在有限格点中，可以采用以 Roland Dobrushin（罗兰·多布鲁申）命名的边界条件：例如在参考平面上方固定 \(+1\) 自旋、下方固定 \(-1\) 自旋，从而迫使系统在中间形成一条贯穿区域的界面。这类边界条件把“界面在哪里、如何涨落”变成了可以严格讨论的问题。

Dobrushin 边界条件下红色正自旋与蓝色负自旋之间形成的二维随机界面 — **Dobrushin（多布鲁申）边界条件下的二维伊辛界面** · 上半部分红色区域表示 \(+1\) 自旋，下半部分蓝色区域表示 \(-1\) 自旋；两相之间形成一条横向随机界面图像：Vincent Beffara（樊尚·贝法拉），由 Yuguang XIAO（肖煜光）提供

在足够低温下，由热涨落产生的自旋液滴与界面的折返（overhang）都受到抑制。若进一步采用无折返近似（no-overhang approximation），让界面在每个水平位置只取一个高度，就可以用整数值高度函数 \(h_x\) 描述它。原来的自旋模型由此导向一类有效的高度模型（height model）。

最常见的有效界面能量只依赖相邻位置的高度差：

\[ H_p(h)=K\sum_{\langle x,y\rangle}|h_x-h_y|^p, \qquad K>0. \]

当 \(p=1\) 时，得到经典的 solid-on-solid（SOS）模型；
当 \(p=2\) 时，得到离散高斯模型（discrete Gaussian model）。

这种对应是一种低温有效描述，而不是对原始伊辛界面的无条件恒等变换。它舍弃了液滴、折返和更复杂的局部拓扑，却保留了研究大尺度界面涨落时最重要的自由度。

维度与界面涨落

二维伊辛模型的界面对应一维高度函数。 对应的一维高度模型只要处在正的有效温度，增量就具有随机游走式的涨落；翻译回伊辛模型时，这一界面描述适用于 \(0<T<T_c\) 的相共存区。在高度模型中，典型行为为

\[ \bigl\langle(h_x-h_0)^2\bigr\rangle\asymp |x|. \]

界面宽度会随观察尺度增长，因此二维伊辛界面在这一意义下是粗糙的（rough），而不是被局域在某条固定直线附近。

三维伊辛模型的界面对应二维随机曲面。 Roland Dobrushin（罗兰·多布鲁申）在 1972 年证明，对足够低的温度，界面被局域在参考平面附近，固定位置的典型高度涨落保持在 \(O(1)\) 量级；这就是严格意义下的低温刚性（rigidity）。

从自旋到高度的过渡，把相变问题转化为随机曲面的几何问题，也是研究晶体表面、浸润转变以及长程作用下界面形状的基本出发点。随机界面也正是我博士课题《数学统计力学中的界面模型》（Modèles d'Interfaces en Mécanique Statistique Mathématique）的核心对象。接下来改变相互作用的距离尺度，就会进入长程伊辛模型的世界——也就是我硕士阶段实习研究的模型。

8. 长程相互作用：一维的例外

如果说界面模型追问的是“秩序之间的边界长什么样”，那么长程相互作用追问的则是“影响究竟能传多远”。后者正是我硕士阶段研究的对象，也是这两章成为全文高潮的原因。

近邻模型假设每个自旋只与身边的格点直接作用。这是一个极其成功的理想化，但许多体系的影响会跨越更远的距离。长程伊辛模型因此把哈密顿量改写为

\[ H(\sigma)=-\sum_{i<j}J_{ij}\sigma_i\sigma_j, \qquad J_{ij}\asymp\frac{1}{|i-j|^{d+\sigma}}, \quad \sigma>0, \]

其中 \(d\) 是空间维度，参数 \(\sigma\) 控制作用衰减的速度。\(\sigma\) 越小，远处自旋的影响越强；\(\sigma\) 越大，模型越接近短程情形。

最引人注目的变化发生在一维。若把耦合写成 \(J(r)\sim r^{-\alpha}\)，Freeman Dyson（弗里曼·戴森）在 1969 年证明了 \(1<\alpha<2\) 时低温相变的存在。临界端点 \(\alpha=2\) 更微妙：David J. Thouless（戴维·J·索利斯）同年分析了反平方耦合下的长程有序与反常临界行为；直到 1982 年，Jürg Fröhlich（于尔格·弗勒利希）与 Thomas Spencer（托马斯·斯宾塞）才严格建立这一端点的相变。换成上面的记号，这分别对应 \(0<\sigma<1\) 与 \(\sigma=1\)。长程纽带由此改变了“一维短程模型没有正温相变”的结论。

David J. Thouless（戴维·J·索利斯）的黑白肖像 — **David J. Thouless（戴维·J·索利斯）** · 2016 年诺贝尔物理学奖图片来源：Mary Levin（玛丽·莱文）/ University of Washington，经 Wikimedia Commons（CC BY-SA 4.0）

随着 \(\sigma\) 改变，模型会在不同区间呈现平均场行为、真正的长程临界行为以及向短程普适类的交叉。临界指数如何变化、长程作用如何改变界面几何，至今仍是活跃的研究方向。

这也正是我硕士实习中占据中心位置的问题。2026 年春，我在巴黎东克雷泰伊大学（UPEC）的 LAMA 实验室跟随 Arnaud LE NY 研究长程伊辛模型：从一维 Dyson（戴森）模型出发，理解耦合衰减速度如何决定相变的存在与性质，并尝试弄清楚界面问题在这一框架下应当如何提出。这段实习让我从一个“学习这个模型的人”，慢慢变成一个“研究这个模型的人”，也将直接衔接我在 2026 年秋开始的博士课题。

9. 无序与学习：伊辛型能量的两条支流

离开均匀的近邻铁磁体以后，伊辛型能量仍然可以保留，但耦合的含义会改变。两条特别重要的理论支流，分别通向无序体系与神经网络。

第一条支流是自旋玻璃。 若耦合 \(J_{ij}\) 不再全为正，而是带有随机符号，局部偏好便会彼此冲突，产生受挫和极其复杂的 Gibbs 态结构。Giorgio Parisi（乔治·帕里西）为 David Sherrington（戴维·谢灵顿）与 Scott Kirkpatrick（斯科特·柯克帕特里克）提出的平均场模型构造了复本对称性破缺方案，用层级序参量描述这种无序；Francesco Guerra（弗朗切斯科·圭拉）与 Michel Talagrand（米歇尔·塔拉格朗）后来的工作则为 Giorgio Parisi（乔治·帕里西）的自由能公式建立了严格数学基础。

Giorgio Parisi（乔治·帕里西）的彩色肖像 — **Giorgio Parisi（乔治·帕里西）** · 2021 年诺贝尔物理学奖图片来源：Lorenza Parisi（洛伦扎·帕里西）/ Wikimedia Commons（CC BY-SA 4.0）

第二条支流通向神经网络。 以 John J. Hopfield（约翰·J·霍普菲尔德）命名的 Hopfield 网络把二元神经元的状态写成伊辛型能量函数，稳定记忆对应能量景观中的吸引子；Geoffrey Hinton（杰弗里·辛顿）与合作者发展的 Boltzmann machine 则把热涨落纳入这一框架，让网络以 Gibbs 分布表示数据。两项工作都借用了统计物理的核心语言：许多简单变量如何通过相互作用形成整体结构。

John J. Hopfield（约翰·J·霍普菲尔德）的彩色肖像 — 共同获得2024 年诺贝尔物理学奖图片来源：左图，bhadeshia123 / Wikimedia Commons（CC BY 3.0）；右图，Christopher Michel（克里斯托弗·米歇尔）/ Wikimedia Commons（CC BY-SA 4.0）

Geoffrey Hinton（杰弗里·辛顿）的彩色肖像 — 共同获得2024 年诺贝尔物理学奖图片来源：左图，bhadeshia123 / Wikimedia Commons（CC BY 3.0）；右图，Christopher Michel（克里斯托弗·米歇尔）/ Wikimedia Commons（CC BY-SA 4.0）

结语：简单规则，复杂世界

伊辛模型不是“万物理论”。它真正经久不衰的原因，是提供了一种极其清楚的思考方式：局部相互作用如何与随机性竞争？有限尺度上的微小规则，怎样在热力学极限中形成宏观秩序？临界点附近，为什么遥远位置之间会突然变得相关？

这些人物并不是一串奖项。Pierre Curie（皮埃尔·居里）指出需要解释的宏观现象，Wilhelm Lenz（威廉·楞次）与 Ernst Ising（恩斯特·伊辛）把问题压缩成格点模型，Hendrik Kramers（亨德里克·克喇末）与 Gregory Wannier（格里高利·瓦尼尔）揭示高温和低温之间的对偶，Lars Onsager（拉斯·昂萨格）给出二维精确解，Kenneth G. Wilson（肯尼斯·威尔逊）则从尺度变化中解释普适性。

此后，Roland Dobrushin（罗兰·多布鲁申）把界面刚性变成严格问题，Stanislav Smirnov（斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫）与 Hugo Duminil-Copin（雨果·迪米尼-科潘）推进临界模型的概率理论；David J. Thouless（戴维·J·索利斯）、Giorgio Parisi（乔治·帕里西）、John J. Hopfield（约翰·J·霍普菲尔德）与 Geoffrey Hinton（杰弗里·辛顿）又展示了相互作用范围、无序和能量景观如何把同一类数学结构带向新的问题。

从一维链上的失败，到二维精确解、高低温对偶、共形不变性、三维共形自举、随机界面、长程相互作用与无序体系，这个只有正负号的模型已经走过一个世纪。它不断提醒我们：微观规则可以简单得近乎朴素，而由它们共同生成的世界，未必简单。

一百年前，Ernst Ising（恩斯特·伊辛）一度以为自己证明了这个模型的“失败”；一百年后，它依然是催生新问题最快的模型之一。对我个人而言，写作这篇文章的过程也是一次整理：把课堂上的定理、实习中的问题和博士课题的蓝图放进同一个坐标系。接下来的几年里，我希望能为这个故事写下属于自己的、哪怕很小的一段。